Minggu, 23 Oktober 2011

Faktorisasi Bentuk Aljabar


1. Pengertian Suku pada Bentuk Aljabar

Suku Tunggal dan Suku Banyak
            Bentuk-bentuk seperti 4a, -5a²b, 2p + 5, 7p² - pq, 8x – 4y + 9, dan 6x² + 3xy – 8y disebut bentuk aljabar. Bentuk aljabar seperti 4a dan -5a²b disebut bentuk aljabar suku satu atau suku tunggal.
            Bentuk aljabar seperti 2p + 5 dan 7p² - pq disebut bentuk aljabar suku dua atau binom.
- Bentuk 2p + 5 terdiri dari dua suku, yaitu 2p dan 5.
- Bentuk 7p² - pq juga terdiri dari dua suku, yaitu 7p² dan pq.
            Bentuk aljabar seperti 8x – 4y + 9 dan 6x² + 3xy – 8y disebut bentuk aljabar suku tiga atau trinom.
- Bentuk 8x – 4y + 9 terdiri dari tiga suku, yaitu 8x, -4y, dan 9.
- Bentuk 6x² + 3xy – 8y juga terdiri dari tiga suku, yaitu 6x², 3xy, dan -8y.
            Bentuk aljabar yang terdiri dari tiga suku atau lebih disebut suku banyak atau polinom, misalnya :
- 2a – 5ab + 4c
- p³ + 2p² - 7p – 8
- 9x³ - 4x²y – 5x + 8y – 7y²

Suku-Suku Sejenis
            Suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar memiliki variabel-variabel yang sama dan pangkat dari masing-masing variabel-variabel juga sama.

2. Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
            Untuk menentukan hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar, perlu diperhatikan hal-hal berikut ini :
- Suku-suku sejenis
- Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap pengurangan, yaitu :
  • ab + ac = a(b + c) atau a(b + c) = ab + ac
  • ab – ac = a(b – c) atau a(b – c) = ab – ac
- Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu :
  • hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif
  • hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif
  • hasil perkalian bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif
Dengan menggunakan ketentuan-ketentuan di atas, maka hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana dengan memperhatikan suku-suku yang sejenis. Hasil penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkan dan menyederhanakan suku-suku yang sejenis.

Perkalian Bentuk Aljabar
            1. x(x + k) = x(x) + x(k)
                              = x² + kx

            2. x(x + y + k) = x(x) + x(y) + x(k)
                                     = x² + xy + kx

            3. (x + p)(x + q) = x(x) + x(q) + p(x) + p(q)
                                        = x² + (p + q) x + pq

            4. (x + p)(x + q + r) = x(x) + x(q) + x(r) + p(x) + p(q) + p(r)
                                              = x² + xq + xr + px + pq + pr
                                              = x² + (p + q + r)x + p(q + r)             

Pembagian Bentuk Aljabar
            Jika dua bentuk aljabar memiliki faktor-faktor yang sama, maka hasil pembagian kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang sederhana dengan memperhatikan faktor-faktor yang sama.
            Bentuk aljabar 3a dan a memiliki faktor yang sama yaitu a, sehingga hasil pembagian 3a dengan a dapat disederhanakan, yaitu : 3a : a = 3. Demikian halnya dengan 6xy dan 2y yang memiliki faktor yang sama 2y, sehingga 6xy : 2y = 3x
            Untuk bilangan bulat 1 dengan pangkat 2 dan 3 selalu berlaku :
                                    1² x 1³ = 1²+³ dan 1² : 1³ = 1²-³
Pemangkatan Bentuk Aljabar
  1. Arti Pemangkatan Bentuk Aljabar
            Pemangkatan suatu bilangan diperoleh dari perkalian berulang untuk bilangan yang sama. Jadi, untuk sembarang bilangan a, maka a² += a x a. Hal ini juga berlaku pada bentuk aljabar, misalnya :
                        3a²   = 3 x a x a
                       (3a)² = 3a x 3a
            Dalam pemangkatan bentuk aljabar perlu dibedakan pengertian-pengertian berikut :
  • 3a² dengan (3a)²
Pada bentuk 3a², yang dikuadratkan hanya a, sedangkan pada bentuk (3a)², yang dikuadratkan adalah 3a. Jadi, 3a² tidak sama dengan (3a)²
  1. Pemangkatan Suku Dua
            Dalam menentukan hasil pemangkatan suku dua, koefisien dari suku-suku hasil pemangkatan dapat ditentukan berdasarkan segitiga Pascal. Pada segitiga Pascal terdapat hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah dua bilangan yang berdekatan yang terletak pada baris yang tepat berada di atasnya. Bilangan-bilangan pada segitiga Pascal merupakan koefisien pada hasil pemangkatan bentuk aljabar suku dua.

3. Faktorisasi Bentuk Aljabar

Faktorisasi dengan Hukum Distributif
            Suatu bentuk penjumlahan dapat dinyatakan sebagai bentuk perkalian jika suku-suku dalam bentuk penjumlahan memiliki faktor yang sama (faktor persekutuan).
            Menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku menjadi bentuk perkalian faktor-faktor disebut faktorisasi atau memfaktorkan. Dengan demikian, bentuk ab + ac dengan faktor persekutuan a dapat difaktorkan menjadi a(b+ + c) sehingga terdapat dua faktor, yaitu a dan b + c.
            Memfaktorkan adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian. Bentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki faktor yang sama dapat difaktorkan dengan menggunakan hukum distributif.

Faktorisasi Bentuk x² + 2xy + y² dan x² - 2xy - y²
            Hasil pengkuadratan suku dua menghasilkan suku tiga dengan cirri-ciri sebagai berikut :
- Suku pertama dan suku ketiga merupakan bentuk kuadrat.
- Suku tengah merupakan hasil kali 2 terhadap akar kuadrat suku pertama dan akar kuadrat suku ketiga.

Faktorisasi Selisih Dua Kuadrat
            (x + y)(x – y) = x² + xy – xy - y²
                                   = x² - y²
Bentuk diatas dapat juga ditulis sebagai bentuk faktorisasi, yaitu : x² - y² = (x + y)(x – y)
            Bentuk x² - y² pada ruas kiri disebut selisih dua kuadrat, karena terdiri dari dua suku yang masing-masing merupakan bentuk kuadrat, dan merupakan bentuk pengurangan (selisih). Sedangkan pada ruas kanan, yaitu (x + y)(x – y), merupakan bentuk perkalian faktor-faktor. Dengan demikian, bentuk x² - y² = (x + y)(x – y) merupakan rumus untuk pemfaktoran selisih dua kuadrat.

Faktorisasi Bentuk ax² + bx + c dengan a = 1
            Pada bentuk ax² + bx + c, a disebut koefisien x², b koefisien x dan c bilangan konstan (tetap).
Untuk x² + 10x – 21, maka koefisien x² = 1, koefisien x = 10, dan -21 adalah bilangan konstan.
Untuk x² - 12x + 20, maka koefisien x² = 1, koefisien x = -21, dan 20 adalah bilangan konstan.
            Untuk memahami pemfaktoran bentuk ax² + bx + c dengan a = 1 yang selanjutnya dapat kita tulis dengan x² + bx + c.
Ternyata memfaktorkan bentuk x² + bx + c dapat dilakukan dengan cara menentukan pasangan bilangan yang memenuhi syarat sebagai berikut :
- Bilangan konstan c merupakan hasil perkalian.
- Koefisien x, yaitu b merupakan hasil penjumlahan.
            Faktorisasi bentuk x² + bx + c adalah : x² + bx + c = (x + p)(x + q) dengan syarat c = p x q dan b = p + q

Faktorisasi Bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1
            Faktorisasi bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1 dilakukan dengan langkah sebagai berikut :
ax² + bx + c = ax² + px + qx + c
p x q = a x c     dan    p + q = b

4. Operasi Pecahan dalam Bentuk Aljabar

Menyederhanakan Pecahan Aljabar
            Telah dikemukakan bahwa, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi dengan bilangan yang sama kecuali nol, maka diperoleh pecahan baru yang senilai, tetapi menjadi lebih sederhana.
            Dengan demikian, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan memiliki faktor yang sama, maka pecahan tersebut dapat disederhanakan. Hal ini berarti, bahwa untuk menyederhanakan pecahan aljabar, harus diingat kembali berbagai bentuk aljabar yang dapat difaktorkan beserta aturan pemfaktorannya. Konsep dalam pecahan :
- Penyebut suatu pecahan tidak boleh nol.
- Suatu pecahan tidak boleh disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan nol, karena pembagian dengan nol tidak didefinisikan.

Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar
            Pecahan-pecahan yang penyebutnya sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan pembilang-pembilangnya.
            Jika penyebut-penyebutnya berbeda, maka penyebut-penyebut tersebut harus disamakan terlebih dahulu. Untuk menyamakan penyebut-penyebut pecahan, tentukanlah kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-penyebut tersebut. Kemudian masing-masing pecahan diubah menjadi pecahan lain yang senilai dengan penyebut merupakan KPK yang sudah ditentukan.

Perkalian dan Pembagian Pecahan Aljabar
            Hasil perkalian dua pecahan dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan penyebut. Untuk pembagian dua pecahan, membagi dengan suatu pecahan sama dengan mengalikan pecahan tersebut terhadap kebalikannya.

Menyederhanakan Pecahan Bersusun (Pengayaan)
            Suatu pecahan yang pembilang atau penyebut atau kedua-duanya memuat pecahan disebut pecahan bersusun. Pecahan bersusun dapat disederhanakan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut pecahan yang terdapat pada pembilang maupun penyebut pecahan bersusun. Dengan demikian, pembilang maupun penyebut pecahan bersusun tidak lagi memuat pecahan.

1 komentar: